1.
Iterasi Gauss-Seidel
Metode iterasi Gauss-Seidel adalah metode
yang menggunakan proses iterasi hingga diperoleh nilai-nilai yang
berubah-ubah. Metode iterasi Gauss-Seidel dikembangkan dari gagasan metode
iterasi pada solusi persamaan tak linier .
Rumus dari metode iterasi Gauss-Seidel :
Xi (k) = 1aii bi - ∑ aiixj(k) - ∑ aiiXj(k-1) , I = 1,2,3,4,……n
Kekurangan dan Kelebihan
Metode
iterasi gauss-seidel digunakan untuk menyelesaikan SPL yg berukuran kecil karena
metode ini lebih efisien. Dengan metode iterasi Gauss-Seidel sesatan pembulatan
dapat diperkecil karena dapat meneruskan iterasi sampai solusinya seteliti mungkin
sesuai dengan batas sesatan yang diperbolehkan.
Kelemahan dari metode ini adalah masalah
pivot (titik tengah) yang harus benar–benar diperhatikan, karena
penyusun yang salah akan menyebabkan iterasi menjadi divergen dan tidak
diperoleh hasil yang benar.
Contoh Soal :
10 x 1 - x 2 + 2 x 3 =
6,
- X 1 +
11 x 2 - x 3 +
3 x 4 = 25,
2 x 1 - x 2 +
10 x 3 - x 4 =
- 11,
3 x 2 - x 3 +
8 x 4 = 15.
Pecahkan nilai di atas menjadi x1,x2,x3,x4
x 1 = x 2 /
10 - x 3 / 5 + 3 / 5,
x 2 = x 1 /
11 + x 3 / 11 - 3 x 4 /
11 + 25 / 11,
x 3 =
- x 1 / 5 + x 2 /
10 + x 4 / 10-11 / 10,
x 4 =
- 3 x 2 / 8 + x 3 /
8 + 15 / 8.
Nilai pendekatan awal (0,0,0,0)
x 1 =
3 / 5 = 0.6,
x 2 =
(3 / 5) / 11 + 25/11 = 3 / 55 + 25/11 = 2,3272,
x 3 =
- (3 / 5) / 5 + (2,3272) / 10 - 11 / 10 = - 3 / 25 + 0,23272-1,1 = - 0,9873,
x 4 =
- 3 (2,3272) / 8 + (- 0,9873) / 8 + 15 / 8 = 0,8789.
Dihasilkan iterasi 4 buah :
|
X1
|
X2
|
X3
|
X4
|
|
0,6
|
2,327
|
-0,987
|
0,878
|
|
1,03
|
2,036
|
-1,014
|
0,983
|
|
1,006
|
2,003
|
- 1,002
|
0.998
|
|
1
|
2
|
-1
|
0,999
|
Selisih
maju
Penjelasan
Metode selisih maju merupakan metode yang
mengadopsi secara langsung definisi differensial, yangdituliskan :
F’(x) = f (x + h) – f (x)
H
Atau :
F’ (x) = f1 – f0
H
Kelebihan
dan kelemahan
Pengambilan h diharapkan pada nilai yang
kecil agar errornya kecil. Error metode selisih maju sebesar :
E(f) = -1/2 hf” (x)
Contoh soal :
Hitung nilai nilai turunan f(x)=x2 , pada x0
=2, dan x1 =2.01, dengan h=0.1
Jawab :
F’ (x) = f1 – f0
h
F(2) = f (2.1) – f (2)
0.1
F (2) = 4,41 – 4
0,1
= 4,1
Hitung nilai turunan dari f(x) = x2, pada x0
= 2, dan x1 = 2,0001, dengan h = 0,0001
F(2) = f (2,0001) – f(2)
0,0001
F(2) = 4,00040001-4
0,0001
F(2) = 4,0001 x 10 -4
0,0001
= 4,0001
Selisih mundur
Penjelasan
Selisih mundur hampir sama dengan selisih
maju, terdapat perbedaan nya pada turunan pertama, karena ini merupakan selisih
mundur maka f0-f-1. Metode selisih mundur dengan nilai x
pada x0 dan x-h, dengan nilai dua titik : (x-1, f-1) dan
(x0,f0), maka f’(x0)
F’(x) = f (x + h) – f (x)
H
Atau :
F’ (x) = f0 –
f-1
H
Kelebihan dan kelemahan
Pengambilan h diharapkan pada nilai yang kecil
agar errornya kecil. Error metode selisih maju sebesar :
E(f) = -1/2 hf” (x)
Karena pada dasar nya metode selisih naju dan
selisih mundur sama saja
Contoh soal :
hitung nilai turunan dari f(x)= x2, pada
x0=2, dan x-1= 1,9999, dengan h= 0,1
jawab :
F(2) = f (2) – f(1,9)
0,1
F(2) = 4 – 3,61
0,1
F(2)
= 0,39
0,1
= 3,9
Hitung nilai turunan f(x)= x2, pada x0=2, dan
x-1 = 1,9999, dengan h = 0,0001
F(2) = f (2) – f(1,9)
0,0001
F(2) = 4 – 3,9999 x 10 -4
0,0001
= 3,9999
Selsisih tengahan
Penjelasan
Metode selisih tengah dengan nilai x di x+h
dan x-h, dengan nilai dua titik : (x-1 ,f-1 )
dan (x1,f1), maka f’(x0 ). Karena h pada
metode ini terdapat dua, maka dapat dituliskan sebagai berikut :
F’(x) = f (x + h) – f (x-h)
2H
Atau :
F’(x) = f1 –
f-1
2H
Kelebihan dan kelemahan
Pengambilan h diharapkan pada nilai yang
kecil agar errornya kecil. Error metode selisih maju sebesar :
E(f) = -1/6 hf” (x)
Contoh soal :
hitung nilai turunan dari f(x)= x2, pada x-1=1,9,
dan x-1= 2,01, dengan h= 0,1
jawab :
F(2) = f (2,1) – f(1,9)
2*0,1
F(2) = 4,41 – 3,61
0,2
= 4
hitung nilai turunan dari f(x)= x2, pada x-1=1,9999,
dan x-1= 2,0001, dengan h= 0,0001
jawab :
F(2) = f (2,0001) – f(1,9999)
2* 0,0001
F(2) = 4,000400041 – 3,99960001
2,0001
F(2) = 8 x 10 -4
2 *
10-4
= 4
2.
Metode
SOR
Metode SOR merupakan metode untuk mempercepat
konvergensi pada metode iterasi, karena didalamnya diberikan sebuah factor
skala yang kita kenal dengan sebutan “Omega”. Rumus dari metode SOR :
Dengan rumus dasar Q = Ax + B , maka dapat disubstitusikan menjadi
seperti dibawah ini :
Untuk k – 1; 2; ….. Secara jelas, ini
diproses dengan cara :
Untuk I = 1; 2; ….. ; n, dan diasumsikan
bahwa untuk langkah ke –k, komponen – komponen Xj^k, 1<=j <=I – 1, sudah
diketahui. Untuk omega = 1, rumus diatas memberikan metode gauss seidel,
sedangkan untuk 0 < omega < 1, prosedurnya dinamakan metode under
relaxation dan dapat digunakan untuk memperoleh konvergensi dari beberapa
system yang tidak konvergen oleh metode gauss seidel. Dilain kondisi, untuk
nilai omega > 1 prosedurnya dinamakan metode overrelaxation yang digunakan
untuk mempercepat konvergensi bagi system yang konvergen oleh teknik gauss
seidel. Metode inilah yang kemudian dikenal dengan istilah SOR (Successive Over
Relaxation) dan digunakan untuk penyelesaian system linear yang muncul dalam
penyelesaian numeris dari persamaan diferensial tertentu.
Contoh soal :
Selanjutrnya untuk metode relaksasi dengan
omega = 1.25, sehingga menjadi seperti ini :
Tabel berikut ini menampilkan hasil
penghitungan sampai langkah ke-4 menggunakkan penyelesaian awal x(0)=0.
